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내가 만든 GPT가 생성한 수학교재 - 인수분해

멘타리

2025.10.08 14:40:37

조회 133 추천 0 댓글 0

인수분해 완전 가이드: 개념, 공식, 풀이 전략, 연습문제

이 포스트는 수업·과제에 바로 붙여넣어 사용할 수 있는 무스크립트·무의존 HTML 교재입니다. 모든 수식은 정적 인라인 SVG로 제공되어 어떤 환경에서도 동일하게 표시됩니다.

학습 목표

다항식의 인수와 인수분해의 의미를 이해한다.
자주 쓰는 공식(정사각 공식, 차의 제곱, 완전제곱식, 세제곱 공식 등)을 기억하고 적용한다.
공통인수, 묶음, 삼항식, 계수 a≠1인 이차식, 차·합의 제곱·세제곱 등 전략 선택 순서를 익힌다.
실전 문제를 단계적으로 풀이하고, 스스로 점검하는 체크리스트를 사용한다.

1) 인수와 인수분해

인수는 곱을 이루는 구성요소, 인수분해는 다항식을 곱의 형태로 나타내는 과정입니다. 분배법칙을 거꾸로 적용한다고 이해하면 쉽습니다.

분배법칙: (p + q)·r = pr + qr인수분해: pr + qr = (p + q)·r인수분해는 분배법칙의 역과정.

2) 반드시 알아야 할 인수분해 공식

유형	공식 (정적 SVG)	메모
정사각 공식 ①	(a + b)² = a² + 2ab + b²	a와 b의 부호가 모두 플러스일 때.
정사각 공식 ②	(a − b)² = a² − 2ab + b²	가운데 항의 부호는 음수 2ab.
차의 제곱	a² − b² = (a − b)(a + b)	가장 자주 쓰는 패턴. 중간항 없음.
세제곱의 합	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)	부호: + → ( + )( − + ).
세제곱의 차	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)	부호: − → ( − )( + + ).
완전제곱식 인식	x² + 2px + p² = (x + p)², x² − 2px + p² = (x − p)²	양 끝이 제곱, 가운데는 두 배의 곱.

3) 인수분해 풀이 전략 — 어떤 순서로 볼까?

공통인수를 먼저 뽑아 단순화한다.
항이 4개면 묶어서 인수분해를 시도한다.
이차 삼항식이면 계수에 따라
- 계수 1: x² + bx + c → 두 수 m, n을 찾아 (x + m)(x + n)
- 계수 a≠1: AC방법(곱 ac, 합 b) → 분해 후 묶음
특수형인지 확인: a²−b², a³±b³, 완전제곱식.
남으면 더 이상 인수분해 불가인지 점검(정수 범위/유리수 범위 등).

4) 유형별 예제

① 공통인수

문제 6x²y − 9xy²

공통인수: 3xy
= 3xy(2x − 3y)

② 묶어서 인수분해

문제 ax + ay + bx + by

=(ax + ay) + (bx + by)
=a(x + y) + b(x + y)
=(a + b)(x + y)

③ 삼항식 (계수 1)

문제 x² + 7x + 12

곱 12, 합 7 → (3, 4)
= (x + 3)(x + 4)

④ 삼항식 (a ≠ 1, AC법)

문제 6x² + 11x + 3

ac = 18, 합 11 → (2, 9)
= 6x² + 2x + 9x + 3
= 2x(3x + 1) + 3(3x + 1)
= (3x + 1)(2x + 3)

⑤ 차의 제곱

문제 9a² − 25b²

=(3a)² − (5b)²
= (3a − 5b)(3a + 5b)

⑥ 세제곱 공식

문제 x³ − 8

8 = 2³
= x³ − 2³
= (x − 2)(x² + 2x + 2)

⑦ 완전제곱식 인식

문제 y² − 12y + 36

끝: y², 36(=6²), 가운데: −2·y·6
= (y − 6)²

⑧ 혼합형

문제 4x² − 1 − 6x

정렬: 4x² − 6x − 1
ac = −4, 합 −6 → (−8, 2)
= 4x² − 8x + 2x − 1
= 4x(x − 2) + 1(2x − 1) ← (실패) 공통 괄호 다름
재시도: 4x² − 8x + 2x − 1
= 2x(2x − 4) + 1(2x − 1) → 여전히 다름
다른 쌍 시도: (−4, −1) 합 −5 (불일치)
정답 경로: 근을 이용해 검증하거나, 완성제곱/이차방정식으로 확인.
※ 정수 인수분해는 불가. (유리수 범위에서는 (2x − 1 − √2)(2x − 1 + √2))

5) 시각 요약 — 핵심 공식 모음 (SVG)

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a − b)² = a² − 2ab + b²a² − b² = (a − b)(a + b)a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)x² + 2px + p² = (x + p)²x² − 2px + p² = (x − p)²시험 전 마지막 점검: 눈감고도 떠오를 때까지.

6) 자주 하는 실수 체크리스트

공통인수를 최대로 뽑지 않음 (계수·문자 모두 확인).
(a + b)²를 a² + b²로 착각.
차의 제곱 a² − b²만 있고 합의 제곱은 없음에 주의.
세제곱 공식의 중괄호 부호 패턴 혼동: + → (+)(−+), − → (−)(++).
계수 a≠1에서 AC법 후 묶을 때 정확히 같은 괄호가 나와야 함.
최종 답에 순서·부호·계수 1 생략 규칙(1x → x)을 정리하지 않아 오답 처리.

7) 연습문제

#	문제	힌트
1	12x³y − 18x²y²	공통인수 최대
2	m² − 49	차의 제곱
3	x² + 9x + 14	곱 14, 합 9
4	2p² + 7p + 3	AC법
5	y² − 10y + 25	완전제곱식
6	27a³ + 8	세제곱의 합
7	4x² − 12xy + 9y²	(2x − 3y)²?
8	3x² − 48	공통인수 → 차의 제곱
9	ax − ay − bx + by	묶어서
10	6t² − 7t − 3	AC법, 부호 주의
11	9u² − v²	차의 제곱(스케일)
12	2x³ − 18x	공통인수 → 차의 제곱
13	k² + 4k + 4	완전제곱식
14	x⁴ − 16	2번 차의 제곱
15	8y³ − 1	세제곱의 차
16	5x² + 13x + 8	AC법
17	4a²b − 6ab²	공통인수
18	x² − 2xy − 63y²	곱 −63, 합 −2
19	3p²q − 12pq² + 12q³	공통인수 → 묶음
20	9x² + 12x + 4	완전제곱식

8) 연습문제 정답

6x²y(2x − 3y)
(m − 7)(m + 7)
(x + 2)(x + 7)
(2p + 1)(p + 3)
(y − 5)²
(3a + 2)(9a² − 6a + 4)
(2x − 3y)²
3(x² − 16) = 3(x − 4)(x + 4)
(a − b)(x − y)
(3t + 1)(2t − 3)
(3u − v)(3u + v)
2x(x² − 9) = 2x(x − 3)(x + 3)
(k + 2)²
(x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4)
(2y − 1)(4y² + 2y + 1)
(5x + 8)(x + 1)
2ab(2a − 3b)
(x − 9y)(x + 7y)
3q( p² − 4pq + 4q² ) = 3q(p − 2q)²
(3x + 2)²

※ 14번의 (x² + 4)는 실수 범위에서 더 이상 인수분해되지 않습니다(복소수 허용 시 (x − 2i)(x + 2i)).

9) 스스로 채점 루틴

최대 공통인수(GCF)를 뽑았는가?
괄호가 정확히 동일하게 묶였는가? (묶음)
이차 삼항식에서 곱 ac, 합 b를 올바르게 찾았는가?
특수형(차의 제곱, 세제곱, 완전제곱식)을 놓치지 않았는가?
전개 검산: 임의의 값 대입 혹은 간단 전개로 확인했는가?
계수 1 생략, 항 정렬(내림차순), 부호 정리까지 완료했는가?

저작 가이드: 본 콘텐츠는 외부 스크립트·스타일 없이 독립 실행되며, 수식/표/예제는 모든 화면 폭에서 스크롤로 안전하게 표시되도록 설계되었습니다.

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