만삐의 수학 교실! - 만화 갤러리

만삐의 수학 교실!앱에서 작성

ㅇㅇ(1.234)

2024.12.26 19:53:21

조회 55 추천 0 댓글 2

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함수가 미분가능하면 그 자체로 연속이야. 증명해볼게

미분가능한 함수 f(x)에 대하여 x=a에서 미분가능하면

f'(a)= lim x->a f(x)-f(a) /x-a 가 존재해.

이때 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 가야해. 즉

lim x->a f(x)-f(a)=0이야.

f(a)는 상수이므로 우변으로 넘겨보자.

lim x->a f(x) =f(a)

짠 좌극한=우극한이 함숫값과 같으므로 연속이야. 즉 미분가능하면 연속임을 전제함과 같다는 것이 증명됐어.

하지만 교과서에서 미분가능을 판단할 때 우리는 2가지를 따지지.

1. 연속인가

2. 좌미분계수=우미분계수인가

위의 내용에 의하면 사실 2번만으로 미분가능을 따질 수 있어.

그러나 연속인지를 먼저 체크하는 건 거름망 용도야. 연속이 아니면 그 자체로 바로 미분가능하지 않으니까. 좀 더 쉽게 그림으로 설명하면

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연속함수 안에 미분가능함수가 있으니까 불연속이면 애초에 미분가능함수가 아닌 거지. 그래서 쳐낼 건 쳐내기 위해 함수가 연속인지를 먼저 따지는 거야. 물론 미분가능한지는 또 좌미분계수랑 우미분계수가 같은지 알아야겠지만.

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