### 콜라츠 추측 - 1 (연구 1일차: 2024-08-31)

#### 1. 콜라츠 추측 개요

콜라츠 추측, 또는 3n + 1 추측이라고도 알려진 이 추측은 다음과 같이 정의됩니다:

1. 임의의 양의 정수 \( n \)으로 시작합니다.

2. \( n \)이 짝수라면, 2로 나눕니다: \( n \rightarrow n/2 \).

3. \( n \)이 홀수라면, 3을 곱하고 1을 더합니다: \( n \rightarrow 3n + 1 \).

이 추측은 어떤 양의 정수로 시작하더라도 이 규칙을 반복적으로 적용하면 결국 1이라는 숫자에 도달하게 된다는 것을 제안합니다.

#### 2. 특정 값에 대한 관찰된 패턴

**\( n = 7 \)의 패턴:**

- 처음에는 콜라츠 규칙을 적용하여 생성된 값들의 수열이 상당히 변동합니다.

- 그러나 10번째 단계부터, 수열은 (홀수, 짝수, 짝수)로 구성된 반복 패턴에 진입합니다.

**\( n = 15 \)의 패턴:**

- \( n = 7 \)의 경우와 마찬가지로, 수열은 초기에는 변동합니다.

- 18번째 단계부터 수열은 (홀수, 짝수, 짝수)로 구성된 반복 루프에 빠집니다.

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### 콜라츠 추측 - 2 (이론)

#### 1. 현재 공식과 접근 방법

현재 콜라츠 추측의 형태는 짝수와 홀수 정수가 다음과 같은 규칙에 따라 행동한다고 가정하고 있습니다:

- **짝수의 경우**: \( n \rightarrow n/2 \)

- **홀수의 경우**: \( n \rightarrow 3n + 1 \)

이 탐구에서는 수열의 동작을 설명하기 위해 숫자 7을 대표적인 예시로 사용합니다.

#### 2. 콜라츠 공식을 변형하기

저는 콜라츠 추측의 규칙을 변형하는 대안을 개발했습니다. 아래는 제안된 변형과 그로 인해 발생하는 패턴입니다:

**예시 1 (7을 대표값으로 사용):**

- **짝수 \( n \)**: \( n \rightarrow n/3 \)

- **홀수 \( n \)**: \( n \rightarrow 2n + 1 \)

**관찰:**

- **홀수의 경우**: 각 단계에서 이전 증가량의 두 배가 추가되므로 값이 빠르게 증가합니다.

- **짝수의 경우**: 수열이 분수로 수렴하며 점차 0에 가까워집니다.

**예시 2 (5를 대표값으로 사용):**

- **짝수 \( n \)**: \( n \rightarrow n/1 \)

- **홀수 \( n \)**: \( n \rightarrow 2n + 3 \)

**관찰:**

- **짝수의 경우**: 연산 후 값이 변하지 않고 그대로 유지됩니다.

- **홀수의 경우**: 값이 급격히 증가하며 수열은 홀수 상태가 계속 유지됩니다.

**예시 3 (5를 대표값으로 사용, 매우 중요한 사례):**

- **짝수 \( n \)**: \( n \rightarrow n/2 \)

- **홀수 \( n \)**: \( n \rightarrow n + 3 \)

**관찰:**

- 이 접근 방식은 콜라츠 추측과 매우 유사한 패턴을 보여주며 반복적인 루프를 형성합니다.

**예시 4 (5를 대표값으로 사용):**

- **짝수 \( n \)**: \( n \rightarrow n/3 \)

- **홀수 \( n \)**: \( n \rightarrow n + 2 \)

**관찰:**

- **짝수 (예: 2, 4, 6, 8)**: 수열이 0 또는 분수로 수렴하는 경향이 있으며, 일부 숫자들은 0으로 수렴하고(예: 2, 6), 다른 숫자들은 분수로 수렴합니다(예: 4, 8).

- **홀수 (예: 3, 5, 7, 9)**: 수열이 매 단계마다 2씩 증가하여 무한히 증가하며 루프에 들어가지 않습니다.

**예시 5 (5를 대표값으로 사용):**

- **짝수 \( n \)**: \( n \rightarrow n/1 \)

- **홀수 \( n \)**: \( n \rightarrow 3n + 2 \)

**관찰:**

- **짝수 (예: 2, 4, 6, 8)**: 연산 후 값이 변하지 않고 그대로 유지됩니다.

- **홀수 (예: 3, 5, 7, 9)**: 값이 급격히 증가하여 매우 큰 숫자로 빠르게 커집니다.

#### 3. 예시 관찰에서의 결론

이러한 변형에서, 우리는 콜라츠 추측에서 사용되는 계수(1, 2, 3)가 다른 방식으로 재배열될 때 특정 패턴을 생성할 수 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 패턴들은 계수의 재배열에 관계없이 일관된 결과를 보여줍니다.

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### 중요한 통찰

#### 1. 콜라츠 추측에서 1, 2, 3의 역할

콜라츠 추측에서 사용되는 계수(1, 2, 3)는 독특한 수학적 성질을 가지고 있으며, 이는 수열의 동작에 영향을 미칩니다.

이 계수들의 6가지 가능한 순열을 고려해 보겠습니다:

- 2, 1, 3

- 2, 3, 1

- 1, 2, 3

- 1, 3, 2

- 3, 2, 1

- 3, 1, 2

이 숫자들을 더하거나 곱하거나 배열하는 방식에 상관없이, 결과는 항상 6이 됩니다.

#### 2. 두 가지 힌트를 고려한 첫 번째 결론

**"콜라츠 추측은 숫자 1, 2, 3의 특수한 수학적 성질로 인해 발생하는 현상이다."**

- 이 현상은 1, 2, 3의 독특한 성질이 모든 순열에 적용되기 때문에, 각 경우마다 특정 패턴을 도출하기 때문입니다.

- 예를 들어, 1, 2, 3의 모든 순열이 더하거나 곱하더라도 항상 6이 도출되며, 이는 콜라츠 추측을 지배하는 규칙이 유사한 결정론적 패턴을 강요한다는 것을 의미합니다.

- 따라서 콜라츠 추측 하에 모든 자연수는 결국 1로 수렴하는 동일한 패턴을 보이게 됩니다.

- 더 나아가, 양의 정수는 콜라츠 추측의 무한 루프에서 벗어날 수 없습니다. 이는 1, 2, 3의 수학적 성질이 공식 내에서 마치 '감옥'과 같은 역할을 하기 때문입니다.

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이거 수학적으로 성립하는 이론이노?